私中數學
數學找規律思考
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例1
按下列各數列的排列規律，在括號內填上合適的數。
（1）1，4，7，10，13，（ ），19；
（2）2，4，8，16，32，（ ），（ ）；
（3）2，4，6，8，10，（ ），（ ）。
解
（1）不難發現，從第2項起，後面一項減去前面一項的差都等於3。因此，括號中應填的數是16，即19－3＝16。
（2）從第2項起，後面一項都是前面一項的2倍。因為
32×2＝64，
64×2＝128，
所以括號內應填入64，128。
（3）從第2項起，後面一項與前面一項相減所得的差都等於2，因此
10＋2＝12，
12＋2＝14，
括號內應填入12，14。
下例題，然後按例題來顯示有關解說。
例1
按下列各數列的排列規律，在括號內填上合適的數。
（1）1，4，7，10，13，（ ），19；
（2）2，4，8，16，32，（ ），（）；
（3）2，4，6，8，10，（ ），（ ）。
解
（1）不難發現，從第2項起，後面一項減去前面一項的差都等於3。因此，括號中應填的數是16，即19－3＝16。
（2）從第2項起，後面一項都是前面一項的2倍。因為
32×2＝64，
64×2＝128，
所以括號內應填入64，128。
（3）從第2項起，後面一項與前面一項相減所得的差都等於2，因此
10＋2＝12，
12＋2＝14，
括號內應填入12，14。
例2
有一排加法算式：4＋2，5＋8，6＋14，7＋20，…。按這規律排的第10個加法算式是怎樣的？它的結果是多少？
解
對於這排加法算式，前面一個數構成數列：4，5，6，7，…；後一個數構成數列：2，8，14，20，…。所以只要知道這兩個數列的第10項即可以知道這排算式的第10個。
對於數列4，5，6，7，…，由觀察得知，第2項等於第1項加上1，第3項等於第1項加上2，第4項等於第1項加上3，…，所以第10項等於第1項加上9，即4＋9＝13。
同理，數列：2，8，14，20，…，第2項等於第1項加上1×6，第3項等於第1項加上2×6，第4項等於第1項加上3×6，……，所以第10項等於第1項加上9×6，即2＋9×6＝56。
所以，這排算式的第10個為13＋56。從而第10個算式的結果為69。
思考 如何求出這排加法算式的第1999個？
例2
找出下列各數列的排列規律，並在括號內填入適當的數。
（1）25，3，22，3，19，3，（ ），（ ）；
（2）8，1，10，2，12，3，（ ），（ ）；
（3）15，6，13，7，11，8，（ ），（ ）。
解答
（1）由觀察可以知道，所有的雙數項全是由3組成；再來看一下剩下來的單數項，從第2個單數項起，每一個都比前一個單數項少3。所以括號內應該填入16，3。
（2）由於受（1）影響，我們仍把這個數列分為由單數項組成的數列和由雙數項組成的數列來分別考慮。所有單數項數構成的數列，從第2個單數項起，每一個都比前面一個多2；所有雙數項數組成的數列，從第2個雙數項起，每一個都比前一個多1。所以括號內為：14，4。
（3）所有單數項構成數列
15，13，11，…。
所有雙數項構成數列
6，7，8，…。
所以括號內應填9，9。
如例3所示，對於一些數列，我們為了找出它的規律，可以把這個數列拆成分別由單數項和由雙數項構成的兩個數列來考慮
先思考一下以下例題，然後按例題來顯示有關解說。
例1
按下列各數列的排列規律，在括號內填上合適的數。
（1）1，4，7，10，13，（ ），19；
（2）2，4，8，16，32，（ ），（）；
（3）2，4，6，8，10，（ ），（ ）。
解
（1）不難發現，從第2項起，後面一項減去前面一項的差都等於3。因此，括號中應填的數是16，即19－3＝16。
（2）從第2項起，後面一項都是前面一項的2倍。因為
32×2＝64，
64×2＝128，
所以括號內應填入64，128。
（3）從第2項起，後面一項與前面一項相減所得的差都等於2，因此
10＋2＝12，
12＋2＝14，
括號內應填入12，14。
例2
有一排加法算式：4＋2，5＋8，6＋14，7＋20，…。按這規律排的第10個加法算式是怎樣的？它的結果是多少？
解
對於這排加法算式，前面一個數構成數列：4，5，6，7，…；後一個數構成數列：2，8，14，20，…。所以只要知道這兩個數列的第10項即可以知道這排算式的第10個。
對於數列4，5，6，7，…，由觀察得知，第2項等於第1項加上1，第3項等於第1項加上2，第4項等於第1項加上3，…，所以第10項等於第1項加上9，即4＋9＝13。
同理，數列：2，8，14，20，…，第2項等於第1項加上1×6，第3項等於第1項加上2×6，第4項等於第1項加上3×6，……，所以第10項等於第1項加上9×6，即2＋9×6＝56。
所以，這排算式的第10個為13＋56。從而第10個算式的結果為69。
思考 如何求出這排加法算式的第1999個？
例3
找出下列各數列的排列規律，並在括號內填入適當的數。
（1）25，3，22，3，19，3，（ ），（ ）；
（2）8，1，10，2，12，3，（ ），（ ）；
（3）15，6，13，7，11，8，（ ），（ ）。
解
（1）由觀察可以知道，所有的雙數項全是由3組成；再來看一下剩下來的單數項，從第2個單數項起，每一個都比前一個單數項少3。所以括號內應該填入16，3。
（2）由於受（1）影響，我們仍把這個數列分為由單數項組成的數列和由雙數項組成的數列來分別考慮。所有單數項數構成的數列，從第2個單數項起，每一個都比前面一個多2；所有雙數項數組成的數列，從第2個雙數項起，每一個都比前一個多1。所以括號內為：14，4。
（3）所有單數項構成數列
15，13，11，…。
所有雙數項構成數列
6，7，8，…。
所以括號內應填9，9。
如例3所示，對於一些數列，我們為了找出它的規律，可以把這個數列拆成分別由單數項和由雙數項構成的兩個數列來考慮。
例4
觀察已給數列，在括號中填入所缺的數。1，1，2，3，5，8，13，（ ），34，…。
分析
這個數列就是人們常說的斐波那契（中世紀意大利著名數學家）數列。
下面我們一起來看看斐波那契數列的特點。仔細觀察就會發現：
1＋1＝2，1＋2＝3，2＋3＝5，…，即相鄰兩項之和等於緊接在它們後面的項。所以，我們可以得出括號內應填的數。
解
括號內應填入8＋13＝21
例1
被人譽為「數學王子」的高斯在年僅10歲時，就以一種非常巧妙的方法很快求出1＋2＋3＋…＋99＋100的結果。高斯是怎樣求出這個和的呢？下面我們就要介紹這種求和方法。
求和：
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝？
分析
只有8個數相加，可以逐步地求出結果，但我們現在不用這種方法。
仔細觀察一下，就會知道1，2，3，…，8是一個首項是1，公差也是1的等差數列，而且
1＋8＝9，
2＋7＝9，
3＋6＝9，
4＋5＝9。
把1到8採用上述方式兩兩配對相加，共配成4對，每一對的和都是9，從而可以得到要求的結果。
解
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8
＝9×4＝36。
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